三角関数の微分

三角関数の微分の証明をしておこう。

$$\begin{eqnarray*} (\sin x)' &=& \lim_{h \to 0} \frac{{\sin (x + h) - \sin (x)}}{... ...\frac{{\cos h-1}}{h}+\cos x\lim_{h \to 0} \frac{{\sin h}}{h} \\ \end{eqnarray*}$$

$$\begin{eqnarray*} 0 &<& x < \frac{\pi }{2}　　のとき　\sin x < x < \tan x 　が成... ...\to 0} \cos x = 1　より\lim_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1 \\ \end{eqnarray*}$$

         この算法は挟み撃ちの定理という。一方もうひとつの式の極限を考えよう。

$$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{{\cos h - 1}}{h} &=& \lim \frac{{(\cos h ... ...\to 0} \frac{1}{\cos h + 1})=- 0\times 1\times \frac{1}{2}= 0\\ \end{eqnarray*}$$

         よって     $(\sin x)' = \cos x$         また、

$$\begin{eqnarray*} (\cos x)' &=& \lim_{h \to 0} \frac{{\cos (x + h) - \cos x}}{h}... ...os h - 1}}{h} - \sin x\lim_{h\to0}\frac{{\sin h }}{h} = - \sin x \end{eqnarray*}$$