エネルギー保存

地球の中心を原点 r=0 、月の位置をr とした運動方程式をエネルギー積分して

$$\begin{eqnarray*} F = G\frac{{Mm}}{{r^2 }}\\ m\frac{{d^2 r}}{{dt^2 }} = - G\fra... ...Mm}}{r}} \right) = 0 \\ \frac{{mv^2 }}{2} - \frac{{GMm}}{r} = E \end{eqnarray*}$$

上式の第2項は保存力である万有引力による位置エネルギーで、無限遠を位置エネルギーの基準 $0$とする。
よって無限遠の手前側（中心から$r[m]$の位置）では位置エネルギーは負になる。
この定義に従えば、万有引力$F$は保存力だから、 $F=-\frac{{dU}}{{dr}}$ の関係があり、位置エネルギーは無限遠から位置$r$まで外力$-F$のした仕事に等しい。言い方を変えれば位置rから基準点の無限遠まで保存力のした仕事に等しい。といえる

$$\begin{eqnarray*} U = - \int_\infty ^r {F dr} = \int_\infty ^r {G\frac{{Mm}}{{r... ...left[- {G\frac{{Mm}}{r}} \right]_\infty ^r = - G\frac{{Mm}}{r} \end{eqnarray*}$$