単振動のエネルギー保存

　運動方程式を$x$で積分してやります。（エネルギー積分）
　これは以下のように積分定数をxからtにかえてやります。（置換積分）

$$\begin{eqnarray*} dx = \frac{{dx}}{{dt}}dt = vdt \\ m\frac{{dv}}{{dt}} = - kx... ...= \frac{{mv_2 ^2 }}{2} + \frac{{kx_2 ^2 }}{2}=E\qquad Constant \end{eqnarray*}$$

上の操作は置換積分の公式 $dx = \left( {{\raise0.7ex\hbox{${dx}$} \!\mathord{\left/ {\vphantom {{dx} {dt}}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} \!\lower0.7ex\hbox{${dt}$}}} \right)dt = vdt$ から$x$で積分することが$v$をかけて$t$で積分することになる。そこで運動方程式の両辺に$v$をかけて$t$で積分する。

$$\begin{eqnarray*} m\frac{{dv}}{{dt}} = - kx \\ v = \frac{{dx}}{{dt}} \\ mv\... ... \\ \frac{{mv^2 }}{2} + \frac{{kx^2 }}{2} = E \qquad Constant \end{eqnarray*}$$

また、エネルギーと振幅や振動数との関係は以下のようになる。

$$\begin{eqnarray*} E = \frac{{kx^2 }}{2} + \frac{{mv^2 }}{2} = \frac{k}{2}\left(... ...= \frac{1}{2}m\left( {2\pi f} \right)^2 A^2 = 2\pi ^2 mf^2 A^2 \end{eqnarray*}$$

エネルギーは振幅や振動数の2乗に比例する。したがって大きく高周波な単振動ほどエネルギーは大きい。