充電

キルヒホッフの第2法則(回路方程式)と連続方程式より $\frac{{dv}}{{dt}} = a - kv$　 の形の微分方程式を解く

$$V = \frac{q}{C} + Ri$$ (1)

$$i = \frac{{dq}}{{dt}}　　 正極板に向かう向きを正$$ (2)

$$V = \frac{q}{C} + R\frac{{dq}}{{dt}}$$

$$R\frac{{dq}}{{dt}} = V - \frac{q}{C}$$

$$\frac{{dq}}{{dt}} = - \frac{1}{{CR}}\left( {q - CV} \right)$$

$$\frac{{dq}}{{q - CV}} = - \frac{1}{{CR}}dt　変数分離形$$

$$\int {\frac{{dq}}{{q - CV}}} = - \int {\frac{1}{{CR}}dt}$$

$$\log \left\vert {q - CV} \right\vert = - \frac{1}{{CR}}t + C_1$$

$$q - CV = \pm e^{C_1}e^{ - \frac{t}{{CR}}}=Ae^{ - \frac{t}{{CR}}}$$

$$A = \pm e^{C_1}　とし以下の初期条件より$$

$$t = 0　q = 0　より　A = -CV　となる$$

$$q = CV + Ae^{ - \frac{t}{{CR}}} = CV\left( {1 - e^{-\frac{{ t}}{{CR}}} } \right)$$

$$i = \frac{{dq}}{{dt}} = \frac{V}{R}e^{-\frac{{ t}}{{CR}}}$$

　コンデンサーに蓄えられる電荷$q$は時間と共に増加し、やがて一定値 $CV$ に近づく。電流は最初一気に流れる(ショートした状態と同じ）が時間と共に減少しコンデンサーの極板と電源の電位が等しくなると充電は終わる。

積分の項は数学公式を用いているので数学の教科書を参照されたい。

$$\begin{eqnarray*} \int {\frac{b}{{ax}}} dx = \frac{b}{a}\log \left\vert x \right\vert + c \end{eqnarray*}$$

上記の導出過程の別解　(1)式をいきなり両辺tで微分してもよい。

$$\begin{eqnarray*} V &=& \frac{q}{C} + Ri\\ 0 &=& \frac{1}{C}\frac{{dq}}{{dt}}... ...辰董〜 = \frac{V}{R} \\ i &=& \frac{V}{R}e^{ - \frac{t}{{CR}}} \end{eqnarray*}$$