RLC 直列共振回路

電源電圧を $v=v_0sin\omega t$ とする。
キルヒホッフの第2法則(起電力=電圧降下）より、 　　

$$v_0 \sin \omega t - L\frac{{di}}{{dt}} = iR + \frac{q}{C}$$ (20)

　　移項して書き換えると(これを回路方程式という) 　　

$$v_0 \sin \omega t = L\frac{{di}}{{dt}} + iR + \frac{q}{C}$$ (21)

　　この微分方程式を解けば$i$がわかる。

$$i = i_0 \sin \left( {\omega t + \phi } \right)　とすれば$$ (22)

$$i = \frac{{dq}}{{dt}}　　連続方程式$$

$$\frac{{dq}}{{dt}} = i_0 \sin \left( {\omega t + \phi } \right)$$

$$\int {\frac{{dq}}{{dt}}} dt = \int {i_0 \sin \left( {\omega t + \phi } \right)dt}$$

$$よって　q = - \frac{{i_0 }}{\omega }\cos \left( {\omega t + \phi } \right)$$ (23)

$$\frac{{di}}{{dt}} = i_0 \omega \cos \left( {\omega t + \phi } \right)　となるので回路方程式は$$ (24)

$$v_0 \sin \omega t = i_0 R\sin \left( {\omega t + \phi } \right) - \frac{{i_0 }}{{\ome... ...{\omega t + \phi } \right) + \omega Li_0 \cos \left( {\omega t + \phi } \right)$$

$$= i_0 \left\{ {R\sin \left( {\omega t + \phi } \right) + \left( {\o... ...- \frac{1}{{\omega C}}} \right)\cos \left( {\omega t + \phi } \right)} \right\}$$

$$= i_0 \sqrt {R^2 + \left( {\omega L - \frac{1}{{\omega C}}} \right)^2 } \sin \left( {\omega t + \phi + \varphi } \right)$$ (25)

$$\tan \varphi = \frac{{\omega L - \frac{1}{{\omega C}}}}{R}$$

ここで両辺を比較して

$$i_0 = \frac{{v_0 }}{{\sqrt {R^2 + \left( {\omega L - \frac{1}{{\omega C}}} \right)^2 } }}　 　\varphi = - \phi$$ (26)

電流の実効値を$I_{eff}$、電圧の実効値を$V_{eff}$と表すと、

$$I_{eff} = \frac{{{{v_0 } \mathord{\left/ {\vphantom {{v_0 } {\sqrt 2 }}} \r... ..._{eff} }}{{\sqrt {R^2 + \left( {\omega L - \frac{1}{{\omega C}}} \right)^2 } }}$$ (27)

ここで、この回路のインピーダンスは次式となる。

$$Z = \frac{{V_{eff} }}{{I_{eff} }} = \sqrt {R^2 + \left( {\omega L - \frac{1}{{\omega C}}} \right)^2 }$$ (28)

　ここで　 $\omega L - \frac{1}{{\omega C}}=0$ のとき$I_{eff}$が最大となり、これを直列共振という。
この共振周波数は

$$\omega = {\raise0.7ex\hbox{$1$} \!\mathord{\left/ {\vphantom {1 {\sqrt {LC} }}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} \!\lower0.7ex\hbox{${\sqrt {LC} }$}}$$ (29)

$$f_0 = \frac{1}{{2\pi \sqrt {LC} }}$$ (30)

となる。共振しているときの回路のインピーダンスは抵抗$R$に等しい。