うなり

　加法定理から導き去れた和積の公式を置き換えておく。

$$\begin{eqnarray*} \sin (\alpha + \beta )+\sin (\alpha - \beta ) = 2\sin \alpha \... ...frac{{A + B}}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{A - B}}{2}} \right) \end{eqnarray*}$$

　振動数$f_1$と$f_2$の波が合成されると $\left\vert {f_1 - f_2 } \right\vert$のうなりが生じる。さて証明しよう。

$$\begin{eqnarray*} y_1 = A\sin 2\pi f_1 t　　　y_2 = A\sin 2\pi f_2 t\\ Y = y_... ...ht)\sin 2\pi \overline f t　ここで　\overline f=\frac{f_1+f_2}{2}\end{eqnarray*}$$

$\overline f$は$f_1、f_2$が近いとき平均振動数を表わし耳に聞こえるおおよその音の高さを表わす。　また、第1項の $2\pi \left( {\frac{{f_1 - f_2 }}{2}}\right)t=2\pi$をみたす時間$t$ (すなわち周期$\equiv \tau$とおく）は

$$\begin{eqnarray*} \tau = \frac{2}{{f_1 - f_2 }} \end{eqnarray*}$$

この間に2回のうなり（音の強弱）を聞くので、うなりの周期は$\frac{1}{2}$となる。

$$\begin{eqnarray*} \frac{\tau }{2} = \left\vert {\frac{1}{{f_1 - f_2 }}} \right\vert \end{eqnarray*}$$

したがってうなりの振動数$\nu$は

$$\begin{eqnarray*} \nu = \left\vert {f_1 - f_2 } \right\vert　　　（証明終） \end{eqnarray*}$$