半減期の式の導出

　不安定な原子核は崩壊して数が減っていくが、時刻$t$および微小時間$t+\Delta t$　で残っている原子核数を$N(t)$、$N(t+\Delta t)$とするとその間の崩壊数は$N(t)$に比例し、かつ時間$\Delta t$にも比例するので以下のように書ける。$\lambda$は崩壊定数で各々の放射性元素に固有なもの。

$$\begin{eqnarray*} N(t) - N(t + \Delta t) = \lambda N(t)\Delta t \end{eqnarray*}$$

これを変形すると以下のとおり微分方程式が得られる。負符号は減少を表す。

$$\begin{eqnarray*} \frac{{N(t + \Delta t) - N(t)}}{{\Delta t}} = \frac{{dN}}{{dt}} \\ \frac{{dN}}{{dt}} = - \lambda N \end{eqnarray*}$$

微分方程式の解法　（変数分離型）

$$\begin{eqnarray*} \frac{{dN}}{N} = - \lambda dt \\ \int {\frac{{dN}}{N}} = - ... ... 　　 初期条件　\\ N_0 = \pm e^c \\ N = N_0 e^{ - \lambda t} \end{eqnarray*}$$

ここで残っている原子核数が半分になるまでの時間を半減期といい、$T$で表すことに決めた。すなわち$t = T$のとき $N = \frac{{N_0 }}{2}$ということであるので

$$\begin{eqnarray*} \frac{{N_0 }}{2} = N_0 e^{ - \lambda T}\\ \frac{1}{2} = e^{ ... ...{\frac{t}{T}} = N_0 \left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{T}} \end{eqnarray*}$$

また、 $\frac{1}{2} = e^{ - \lambda T}$より

$$\begin{eqnarray*} 2 = e^{\lambda T} \\ \log _e 2 = \lambda T \\ \lambda T = 0.693 \\ \frac{{dN}}{{dt}} = - \lambda N = - 0.693\frac{N}{T} \end{eqnarray*}$$

単位時間に崩壊する原子核の数は原子核の数に比例し半減期に反比例する。

図 1: 崩壊曲線　 $T=5.0$