角運動量保存則

運動方程式を書き直して力$F$は運動量の変化 $\frac{{dmv}}{{dt}}$をもたらすことがわかる。

$$\begin{eqnarray*} 　　m\frac{{dv}}{{dt}} = F 　 \frac{{dmv}}{{dt}} = F　　 \frac{{dp}}{{dt}} = F \end{eqnarray*}$$

角運動量$l$は位置ベクトル$r$と運動量$p$とのベクトル積(外積)であると定義されている。「運動量の原点に対する モーメント」とも言い換えられる。

$$\begin{eqnarray*} l &=& r \times p = r \times mv = mvr\sin \theta \\ \frac{{d... ... F \\ &=& 0 + r \times F \\ \frac{{dl}}{{dt}} &=& r \times F \end{eqnarray*}$$

　これよりある時刻における質点の角運動量の変化はその時刻における質点の、原点に対する力Fのモーメントに等しい。よって、原点に関する力Fのモーメントが０なら角運度量は保存され、モーメントが０でなければ角運動量は変化する。万有引力のような中心力の場合、原点に対するモーメントは$0$（位置ベクトルと力の向きが反対）なので角運動量は保存される。
　動径ベクトル$r$の掃く面積$\Delta S$ の時間微分が面積速度である。面積速度は角運動量を用いて表わされるので、以下のとおり万有引力のはたらく軌道上では面積速度が保存される。

$$\begin{eqnarray*} \Delta S &=& \frac{1}{2}rv\Delta t\sin \theta \\ \mathop {\... ...in \theta \\ &=& \frac{1}{2}r \times v = \frac{l}{2m}　　一定 \end{eqnarray*}$$